개념 학습 - 개념 2: 곱셈 공식

개념 2: 곱셈 공식

중학교에서 배운 기본 공식을 넘어, 고등 수학에서는 세 항의 합의 제곱과 세제곱(삼차) 전개 공식을 다룹니다. 이 공식들은 인수분해와 직결되는 핵심 도구입니다.

🔥 실전 출제 유형

실제 시험에서는 공식을 단순 암기하는 것을 넘어, 두 공식을 복합적으로 사용하거나 특정 항의 값을 구하는 형태로 출제됩니다.

─ 유형 1: 세 항의 제곱 ─

(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 b c + 2 c a

적용하기

─ 유형 2: 세제곱 전개 ─

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

적용하기

─ 유형 3: 합·차의 세제곱 인수분해형 ─

(a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} + b^{3}

(a - b) (a^{2} + ab + b^{2}) = a^{3} - b^{3}

역이용하기

🎯 단 하나의 대표 문제

REPRESENTATIVE PROBLEM

다음 식을 곱셈 공식을 이용하여 전개하고 간단히 하시오.

(x + 2)^{3} - (x - 1) (x^{2} + x + 1)

각 항에 적용할 공식 파악

식을 두 부분으로 나누어 각각 어떤 공식을 사용할지 결정합니다.
- 앞 항

(x + 2)^{3}

→ 세제곱 전개 공식

(a + b)^{3}

적용
- 뒤 항

(x - 1) (x^{2} + x + 1)

→ 합·차의 세제곱 공식

(a - b) (a^{2} + ab + b^{2}) = a^{3} - b^{3}

적용

세제곱 전개 공식 적용

a = x

b = 2

로 놓고

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

을 적용합니다.

(x + 2)^{3} = x^{3} + 3 \cdot x^{2} \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 4 + 8 = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8

합·차의 세제곱 공식 적용

a = x

b = 1

로 놓으면

(x - 1) (x^{2} + x + 1)

은

a^{3} - b^{3}

의 형태입니다.

(x - 1) (x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1^{3} = x^{3} - 1

두 결과를 빼서 최종 정리

(x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8) - (x^{3} - 1) = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8 - x^{3} + 1 = 6 x^{2} + 12 x + 9

📽 이 공간에 풀이 영상이 추가될 예정입니다.